## 問題の内容

## 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax - a^2 + 2a$ が与えられている。

(1) 放物線の頂点の $y$ 座標を $a$ で表し、$a$ が負のときの頂点の $y$ 座標の符号を判断し、$a$ が負のときの放物線と $x$ 軸の共有点の個数を求める。

(2) 放物線が $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方で交わるときの $a$ の取り得る値の範囲を求める。

## 解き方の手順

(1)

- 頂点の $y$ 座標を $a$ で表す:

$y = x^2 - 2ax - a^2 + 2a$ を平方完成すると、

$y = (x - a)^2 - 2a^2 + 2a$ となる。

したがって、頂点の座標は $(a, -2a^2 + 2a)$ であり、頂点の $y$ 座標は $-2a^2 + 2a$ である。

- $a$ が負のときの頂点の $y$ 座標の符号を判断:

頂点の $y$ 座標は $-2a^2 + 2a = -2a(a - 1)$ である。$a < 0$ のとき、$a-1 < 0$ であるから、$-2a > 0$ かつ $a-1 < 0$ である。したがって、$-2a(a - 1) > 0$ となり、頂点の $y$ 座標は常に正である。よって、選択肢は1である。

- $a$ が負のときの放物線と $x$ 軸の共有点の個数を求める:

$a < 0$ のとき、頂点の $y$ 座標は正であり、放物線は下に凸であるから、$x$ 軸との共有点は2個である。

(2)

放物線 $y = x^2 - 2ax - a^2 + 2a$ が $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方で交わるためには、 $x = 0$ のときの $y$ 座標が負である必要がある。

$y(0) = -a^2 + 2a < 0$

$a^2 - 2a > 0$

$a(a - 2) > 0$

したがって、$a < 0$ または $a > 2$ である。

## 最終的な答え

(1)

- (ア): $-2a^2 + 2a$

- (イ): 1

- (ウ): 2

(2)

$a < 0$ または $a > 2$