(1) 多項式 $1+2x+3x^4-x^2$ は何次式か。 (2) 多項式 $a^4+3a^2b+2ab^2-1$ は、次の文字に着目すると何次式か。また、そのときの定数項は何か。 (ア) $a$ (イ) $b$ (ウ) $a$ と $b$

1. 問題の内容

(1) 多項式 $1+2x+3x^4-x^2$ は何次式か。

(2) 多項式 $a^4+3a^2b+2ab^2-1$ は、次の文字に着目すると何次式か。また、そのときの定数項は何か。

(ア) $a$

(イ) $b$

(ウ) $a$ と $b$

2. 解き方の手順

(1) 多項式の次数は、各項の中で最も次数の高い項の次数です。

多項式 $1+2x+3x^4-x^2$ の各項の次数は、

$1$ は $0$ 次、

$2x$ は $1$ 次、

$3x^4$ は $4$ 次、

$-x^2$ は $2$ 次。

したがって、この多項式は $4$ 次式です。

(2)

(ア) $a$ に着目する場合、各項の $a$ の次数は、

$a^4$ は $4$ 次、

$3a^2b$ は $2$ 次、

$2ab^2$ は $1$ 次、

$-1$ は $0$ 次。

よって、$a$ については $4$ 次式です。

$a$ についての定数項は、$a$ を含まない項なので、$3a^2b$, $2ab^2$ は $a$ を含むため定数項ではなく、$-1$ です。また$a$を含まない項$a$の0乗と見做せる1も定数項となるため、定数項は $-1$ です。

(イ) $b$ に着目する場合、各項の $b$ の次数は、

$a^4$ は $0$ 次、

$3a^2b$ は $1$ 次、

$2ab^2$ は $2$ 次、

$-1$ は $0$ 次。

よって、$b$ については $2$ 次式です。

$b$ についての定数項は、$b$ を含まない項なので、$a^4$ と $-1$ です。よって、定数項は $a^4 - 1$ です。

(ウ) $a$ と $b$ に着目する場合、各項の次数の合計は、

$a^4$ は $4$ 次、

$3a^2b$ は $3$ 次、

$2ab^2$ は $3$ 次、

$-1$ は $0$ 次。

したがって、$a$ と $b$ については $4$ 次式です。

$a$ と $b$ についての定数項は、$a$ も $b$ も含まない項なので、$-1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 4次式

(2)

(ア) $a$ について 4次式、定数項は $-1$

(イ) $b$ について 2次式、定数項は $a^4 - 1$

(ウ) $a$ と $b$ について 4次式、定数項は $-1$