与えられた式 $a^6 - 7a^3 - 8$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 - 7a^3 - 8$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は $a^3$ についての二次式と見なすことができます。つまり、$x = a^3$ とおくと、式は次のようになります。

$x^2 - 7x - 8$

この二次式を因数分解します。積が -8 で和が -7 となる2つの数を見つける必要があります。これらの数は -8 と 1 です。したがって、式は次のように因数分解できます。

$(x - 8)(x + 1)$

ここで、$x$ を $a^3$ に置き換えます。

$(a^3 - 8)(a^3 + 1)$

次に、$a^3 - 8$ と $a^3 + 1$ をそれぞれ因数分解します。これらは、差の立方と和の立方の公式です。

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$

$a^3 + 1 = a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$

したがって、元の式は次のように因数分解されます。

$(a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a + 1)(a^2 - a + 1)$

3. 最終的な答え

$(a - 2)(a + 1)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - a + 1)$