与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルに関する問題です。まず、3つの固有値を小さい順に求める必要があります。固有値のうち一つは6であることが与えられています。次に、固有ベクトル $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ のうち、いくつかの成分が欠けているため、残りの成分を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルに関する問題です。まず、3つの固有値を小さい順に求める必要があります。固有値のうち一つは6であることが与えられています。次に、固有ベクトル $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ のうち、いくつかの成分が欠けているため、残りの成分を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、行列Aの固有方程式を求めます。固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 21 & -6 \\ 20 & 8 - \lambda & 20 \\ -2 & -11 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = -\lambda((8-\lambda)(4-\lambda) - (-11)(20)) - 21(20(4-\lambda) - (-2)(20)) - 6(20(-11) - (-2)(8-\lambda))$

$= -\lambda(32 - 12\lambda + \lambda^2 + 220) - 21(80 - 20\lambda + 40) - 6(-220 + 16 - 2\lambda)$

$= -\lambda(\lambda^2 - 12\lambda + 252) - 21(120 - 20\lambda) - 6(-204 - 2\lambda)$

$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 252\lambda - 2520 + 420\lambda + 1224 + 12\lambda$

$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 + 180\lambda - 1296 = 0$

$\lambda^3 - 12\lambda^2 - 180\lambda + 1296 = 0$

$\lambda = 6$ が固有値の一つであるため、$(\lambda - 6)$ で割り切れるはずです。

$(\lambda - 6)(\lambda^2 - 6\lambda - 216) = 0$

$(\lambda - 6)(\lambda - 18)(\lambda + 12) = 0$

したがって、固有値は $-12, 6, 18$ です。小さい順に並べると、$-12, 6, 18$ となります。よって、(1)は-12、(2)は18です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\vec{v_1}$ は固有値 $-12$ に対応する固有ベクトルなので、$(A - (-12)I)\vec{v_1} = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} 12 & 21 & -6 \\ 20 & 20 & 20 \\ -2 & -11 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ x \\ -1 \end{pmatrix} = 0$

$12(3) + 21x - 6(-1) = 0 \Rightarrow 36 + 21x + 6 = 0 \Rightarrow 21x = -42 \Rightarrow x = -2$

$20(3) + 20x + 20(-1) = 0 \Rightarrow 60 + 20x - 20 = 0 \Rightarrow 20x = -40 \Rightarrow x = -2$

$-2(3) - 11x + 16(-1) = 0 \Rightarrow -6 - 11x - 16 = 0 \Rightarrow -11x = 22 \Rightarrow x = -2$

したがって、(3)は-2です。

$\vec{v_2}$ は固有値 $6$ に対応する固有ベクトルなので、$(A - 6I)\vec{v_2} = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} -6 & 21 & -6 \\ 20 & 2 & 20 \\ -2 & -11 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$

$-6x + 21(0) - 6(-1) = 0 \Rightarrow -6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1$

$20x + 2(0) + 20(-1) = 0 \Rightarrow 20x - 20 = 0 \Rightarrow x = 1$

$-2x - 11(0) - 2(-1) = 0 \Rightarrow -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

したがって、(4)は1です。

$\vec{v_3}$ は固有値 $18$ に対応する固有ベクトルなので、$(A - 18I)\vec{v_3} = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} -18 & 21 & -6 \\ 20 & -10 & 20 \\ -2 & -11 & -14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ x \end{pmatrix} = 0$

$-18(3) + 21(2) - 6x = 0 \Rightarrow -54 + 42 - 6x = 0 \Rightarrow -6x = 12 \Rightarrow x = -2$

$20(3) - 10(2) + 20x = 0 \Rightarrow 60 - 20 + 20x = 0 \Rightarrow 20x = -40 \Rightarrow x = -2$

$-2(3) - 11(2) - 14x = 0 \Rightarrow -6 - 22 - 14x = 0 \Rightarrow -14x = 28 \Rightarrow x = -2$

したがって、(5)は-2です。

3. 最終的な答え

(1): -12

(2): 18

(3): -2

(4): 1

(5): -2