(2) $\theta$が第4象限の角であり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求める。

1. 問題の内容

(2) $\theta$が第4象限の角であり、$\tan \theta = -\frac{1}{2}$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用する。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

この式に$\tan \theta = -\frac{1}{2}$を代入すると、

$1 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\theta$は第4象限の角であるため、$\cos \theta > 0$である。

したがって、

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

次に、$\sin \theta$の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\sin \theta = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{2\sqrt{5}}{5})$

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$