$\theta$ が第3象限の角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ が第3象限の角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + \tan^2 \theta$ を用いて $\cos \theta$ を求めます。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$

したがって、$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\theta$ が第3象限の角であるので、$\cos \theta < 0$ より、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \sqrt{2} \cdot \left( - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\theta$ が第3象限の角であるので、$\sin \theta < 0$ となり、これは矛盾しません。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{3}$