ベクトル $\vec{a} = 4\vec{i} - 5\vec{j} + 8\vec{k}$、$\vec{b} = -2\vec{i} - 5\vec{j} + 2\vec{k}$、$\vec{c} = 8\vec{i} + 1\vec{j} + 3\vec{k}$ が与えられたとき、ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$、$\vec{a} \times \vec{c}$、$\vec{b} \times \vec{c}$ を計算し、結果を $\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ の成分で表す。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = 4\vec{i} - 5\vec{j} + 8\vec{k}$、$\vec{b} = -2\vec{i} - 5\vec{j} + 2\vec{k}$、$\vec{c} = 8\vec{i} + 1\vec{j} + 3\vec{k}$ が与えられたとき、ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$、$\vec{a} \times \vec{c}$、$\vec{b} \times \vec{c}$ を計算し、結果を $\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ の成分で表す。

2. 解き方の手順

ベクトル積は次のように計算できる。

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}$

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$ の計算

$\vec{a} = (4, -5, 8)$、$\vec{b} = (-2, -5, 2)$

$\vec{a} \times \vec{b} = ((-5)(2) - (8)(-5))\vec{i} - ((4)(2) - (8)(-2))\vec{j} + ((4)(-5) - (-5)(-2))\vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{b} = (-10 + 40)\vec{i} - (8 + 16)\vec{j} + (-20 - 10)\vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{b} = 30\vec{i} - 24\vec{j} - 30\vec{k}$

(2) $\vec{a} \times \vec{c}$ の計算

$\vec{a} = (4, -5, 8)$、$\vec{c} = (8, 1, 3)$

$\vec{a} \times \vec{c} = ((-5)(3) - (8)(1))\vec{i} - ((4)(3) - (8)(8))\vec{j} + ((4)(1) - (-5)(8))\vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{c} = (-15 - 8)\vec{i} - (12 - 64)\vec{j} + (4 + 40)\vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{c} = -23\vec{i} + 52\vec{j} + 44\vec{k}$

(3) $\vec{b} \times \vec{c}$ の計算

$\vec{b} = (-2, -5, 2)$、$\vec{c} = (8, 1, 3)$

$\vec{b} \times \vec{c} = ((-5)(3) - (2)(1))\vec{i} - ((-2)(3) - (2)(8))\vec{j} + ((-2)(1) - (-5)(8))\vec{k}$

$\vec{b} \times \vec{c} = (-15 - 2)\vec{i} - (-6 - 16)\vec{j} + (-2 + 40)\vec{k}$

$\vec{b} \times \vec{c} = -17\vec{i} + 22\vec{j} + 38\vec{k}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \times \vec{b} = 30\vec{i} - 24\vec{j} - 30\vec{k}$

$\vec{a} \times \vec{c} = -23\vec{i} + 52\vec{j} + 44\vec{k}$

$\vec{b} \times \vec{c} = -17\vec{i} + 22\vec{j} + 38\vec{k}$