次の3つの式を展開せよ。 (1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$ (2) $(a+b+c)^2$ (3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の3つの式を展開せよ。

(1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$

(2) $(a+b+c)^2$

(3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$ の展開

$x-2y = A$ と置換すると、

$(A+1)(A-2) = A^2 - A - 2$

ここで $A$ を元に戻すと、

$(x-2y)^2 - (x-2y) - 2 = x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$

(2) $(a+b+c)^2$ の展開

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$ の展開

$x^2+1 = A$ と置換すると、

$(A+x)(A-x) = A^2 - x^2$

ここで $A$ を元に戻すと、

$(x^2+1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 + x^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $x^4 + x^2 + 1$