(1) $\sin \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = -\frac{2}{5}$ のとき

ステップ1：三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

ステップ2：$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{21}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき

ステップ1：三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

したがって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

ステップ2：$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2$

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$ のとき、$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$ のとき、$\tan \theta = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

(2) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\tan \theta = -2$

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$\tan \theta = 2$