関数 $y = 2\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$ の、$0 \leq \theta \leq \pi$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$ の、$0 \leq \theta \leq \pi$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2\sin{\theta} + 3\cos{\theta}$ を合成します。$r\sin{(\theta + \alpha)} = r(\sin{\theta}\cos{\alpha} + \cos{\theta}\sin{\alpha})$ の形にすることを考えます。

$r\cos{\alpha} = 2$, $r\sin{\alpha} = 3$ となる $r$ と $\alpha$ を求めます。

$r^2 = (r\cos{\alpha})^2 + (r\sin{\alpha})^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ より、$r = \sqrt{13}$ です。

したがって、$y = \sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\sin{\theta} + \frac{3}{\sqrt{13}}\cos{\theta}\right)$ となり、$\cos{\alpha} = \frac{2}{\sqrt{13}}$, $\sin{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ となる $\alpha$ を用いると、

$y = \sqrt{13}\sin{(\theta + \alpha)}$ と表せます。

ここで、$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\alpha \leq \theta + \alpha \leq \pi + \alpha$ です。

$\sin{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{13}} > 0$ かつ $\cos{\alpha} = \frac{2}{\sqrt{13}} > 0$ より、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ です。

$\sin{x}$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値1を取ります。$\alpha \leq \theta + \alpha \leq \pi + \alpha$ の範囲に $\frac{\pi}{2}$ が含まれるかどうかを調べます。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\alpha < \frac{\pi}{2} < \pi + \alpha$ なので、$\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$ となる $\theta$ が存在します。その時、$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ であり、$0 \leq \theta \leq \pi$ を満たします。

したがって、最大値は $\sqrt{13} \cdot 1 = \sqrt{13}$ です。

次に最小値を求めます。

$\sin{(\theta + \alpha)}$ の最小値は $-1$ ですが、$\alpha \leq \theta + \alpha \leq \pi + \alpha$ の範囲に $\frac{3\pi}{2}$ が含まれるとは限りません。

$\sin{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ より、$\alpha = \arcsin{\frac{3}{\sqrt{13}}}$ です。

区間の端点での値を比較します。

$\theta = 0$ のとき、$y = \sqrt{13}\sin{\alpha} = \sqrt{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 3$ です。

$\theta = \pi$ のとき、$y = \sqrt{13}\sin{(\pi + \alpha)} = \sqrt{13}(-\sin{\alpha}) = \sqrt{13} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{13}}\right) = -3$ です。

よって、最小値は $-3$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{13}$

最小値: $-3$