$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解きます。 $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta > \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解きます。

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta > \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

したがって、不等式は次のようになります。

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) > \sqrt{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ であり、$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ は、$\frac{\pi}{3}$ と $\frac{2\pi}{3}$ です。

$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、$\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$ です。

$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ より、$\frac{\pi}{3} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}$ となります。

各辺から $\frac{\pi}{3}$ を引くと、

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$

ただし、$\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ なので、$t$ が $2\pi$ を超える可能性も考慮する必要があります。

$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$t$の範囲は$\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$ または $2\pi + \frac{\pi}{3} > t > 2\pi + \frac{2\pi}{3}$です。しかし、$t < 2\pi + \frac{\pi}{3}$なので後者の範囲は考慮する必要がありません。

3. 最終的な答え

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$