関数 $y = 3\sin^2\theta + \cos^2\theta$ のグラフを描き、その周期を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin^2\theta + \cos^2\theta$ のグラフを描き、その周期を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ であることを利用します。

$y = 3\sin^2\theta + \cos^2\theta = 3\sin^2\theta + (1 - \sin^2\theta) = 2\sin^2\theta + 1$

次に、$2\sin^2\theta$ を倍角の公式を用いて変形します。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ より、$2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta$ です。

したがって、

$y = 2\sin^2\theta + 1 = (1 - \cos 2\theta) + 1 = 2 - \cos 2\theta$

この式から、グラフは $y = -\cos 2\theta$ を $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものだと分かります。

$y = \cos x$ の周期は $2\pi$ です。$y = \cos 2\theta$ の周期は $\frac{2\pi}{2} = \pi$ です。したがって、$y = -\cos 2\theta$ の周期も $\pi$ であり、$y = 2 - \cos 2\theta$ の周期も $\pi$ です。

グラフの概形は、$-\cos 2\theta$ のグラフをy軸方向に2だけ平行移動したものとなります。

3. 最終的な答え

グラフは $y = 2 - \cos 2\theta$ のグラフであり、周期は $\pi$ である。