与えられた数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列の極限を求めます。 (1) $a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ (2) $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列の極限を求めます。

(1) $a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$

(2) $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ について:

この数列の極限は、ネイピア数 $e$ の定義に関連しています。$m = -n$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $m \to -\infty$ です。すると、

$a_n = \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m} = \left[ \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \right]^{-1}$

$n \to \infty$ のとき、$m \to -\infty$ ですが、$\lim_{m\to-\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$ が成り立ちます。

したがって、

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{m\to-\infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \right]^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2) $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$ について:

まず、$\frac{n+3}{n+1}$ を変形します。

$\frac{n+3}{n+1} = \frac{n+1+2}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}$

したがって、

$a_n = \left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^n$

ここで、$n+1 = m$ とおくと、$n = m-1$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ です。

$a_n = \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{m-1} = \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{m} \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{-1}$

$\lim_{m\to\infty} \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{m} = e^2$

$\lim_{m\to\infty} \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{-1} = 1$

したがって、

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{m\to\infty} \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{m} \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{-1} = e^2 \cdot 1 = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$

(2) $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n = e^2$