数列 $a_n$ が次のように与えられています。 $a_n = (\frac{1-n}{3-n})^{-n}$ この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

## (3)の問題

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が次のように与えられています。

$a_n = (\frac{1-n}{3-n})^{-n}$

この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理します。

$a_n = (\frac{1-n}{3-n})^{-n} = (\frac{3-n}{1-n})^n$

ここで、式を簡単にするために、$(1+\frac{2}{1-n})^n$と変形します。

$\frac{3-n}{1-n}=\frac{1-n+2}{1-n} = 1+\frac{2}{1-n}$

したがって、

$a_n = (1+\frac{2}{1-n})^n$

$a_n = (1+\frac{2}{1-n})^{(1-n)\frac{n}{1-n}}$

ここで、$m = 1-n$ とおくと、$n \to \infty$ のとき、$m \to -\infty$です。

$\lim_{m \to -\infty}(1+\frac{2}{m})^m = e^2$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{1-n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}-1} = -1$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} a_n = (e^2)^{-1} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

$a_n = (\frac{3-n}{1-n})^n$

## (4)の問題

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が次のように与えられています。

$a_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$

この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式を有理化します。

$a_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} = (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$a_n = \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$