与えられたグラフは関数 $y = r \sin(a\theta + b)$ の一部である。定数 $r$, $a$, $b$ の値を求める。ただし、$a$ と $b$ は正の最小値を答える。

1. 問題の内容

与えられたグラフは関数 $y = r \sin(a\theta + b)$ の一部である。定数 $r$, $a$, $b$ の値を求める。ただし、$a$ と $b$ は正の最小値を答える。

2. 解き方の手順

まず、グラフから読み取れる情報を整理する。

* 振幅は $r = \frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}) / 2 = \frac{3}{2}$

* 周期 $T$ は $T = \frac{7\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$

正弦関数の周期の公式は $T = \frac{2\pi}{|a|}$。今回は $a > 0$ なので、$|a| = a$。

したがって、

$T = \frac{2\pi}{a}$

$\frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{a}$

$a = \frac{2\pi}{\frac{4\pi}{3}} = 2\pi \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{3}{2}$

次に、位相 $b$ を求める。

グラフは $y = r \sin(a\theta + b)$ で、$r = \frac{3}{2}$、$a = \frac{3}{2}$ なので、

$y = \frac{3}{2} \sin(\frac{3}{2}\theta + b)$。

グラフが原点を通る点に着目すると、$\theta = -\frac{\pi}{6}$のとき、$y = 0$ である。

$0 = \frac{3}{2} \sin(\frac{3}{2}(-\frac{\pi}{6}) + b)$

$0 = \sin(-\frac{\pi}{4} + b)$

$-\frac{\pi}{4} + b = n\pi$, $n$ は整数

$b = \frac{\pi}{4} + n\pi$

$b$ が正の最小値なので、$n = 0$ のとき、$b = \frac{\pi}{4}$。

3. 最終的な答え

$r = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{2}$

$b = \frac{\pi}{4}$