$\sin 2\theta - \cos \theta < 0$ を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。ただし、問題文の前後から $0 \leq \theta < 2\pi$ であると考えられます。

1. 問題の内容

$\sin 2\theta - \cos \theta < 0$ を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。ただし、問題文の前後から $0 \leq \theta < 2\pi$ であると考えられます。

2. 解き方の手順

まず、2倍角の公式を用いて $\sin 2\theta$ を変形します。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

この式を元の不等式に代入すると、

$2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta < 0$

$\cos \theta$ でくくると、

$\cos \theta (2 \sin \theta - 1) < 0$

この不等式が成り立つためには、以下の2つの場合が考えられます。

(i) $\cos \theta > 0$ かつ $2 \sin \theta - 1 < 0$

$\cos \theta > 0$ かつ $\sin \theta < \frac{1}{2}$

(ii) $\cos \theta < 0$ かつ $2 \sin \theta - 1 > 0$

$\cos \theta < 0$ かつ $\sin \theta > \frac{1}{2}$

(i) $\cos \theta > 0$ となる$\theta$の範囲は、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$です。

また、$\sin \theta < \frac{1}{2}$ となる$\theta$の範囲は、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$です。

両方の共通範囲は、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$です。

(ii) $\cos \theta < 0$ となる$\theta$の範囲は、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$です。

また、$\sin \theta > \frac{1}{2}$ となる$\theta$の範囲は、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$です。

両方の共通範囲は、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$です。

したがって、(i)と(ii)を合わせた範囲が答えとなります。

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$