与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた恒等式を用いて、各項を分解します。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

恒等式より、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

$\frac{1}{2}$をシグマの外に出すと、

$S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

ここで、シグマを展開すると、

$S = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

多くの項が打ち消しあい、残るのは初めの項と最後の項だけです。

$S = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$

通分して整理すると、

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2n+1 - 1}{2n+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2n}{2n+1}\right)$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$