$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。 (2) $\sin 2\theta + \sqrt{2} \sin \theta > 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。

(2) $\sin 2\theta + \sqrt{2} \sin \theta > 0$

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2\theta$ を倍角の公式で展開します。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

与えられた不等式に代入すると、

$2 \sin \theta \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta > 0$

$\sin \theta$ でくくります。

$\sin \theta (2 \cos \theta + \sqrt{2}) > 0$

この不等式が成り立つのは、以下の2つの場合です。

(i) $\sin \theta > 0$ かつ $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$

(ii) $\sin \theta < 0$ かつ $2 \cos \theta + \sqrt{2} < 0$

(i) の場合:

$\sin \theta > 0$ より $0 < \theta < \pi$

$2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$ より $\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi$ なので、$\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $0 \le \theta < \frac{3}{4}\pi$ または $\frac{5}{4}\pi < \theta < 2\pi$

$\sin \theta > 0$ と合わせると $0 < \theta < \frac{3}{4}\pi$

(ii) の場合:

$\sin \theta < 0$ より $\pi < \theta < 2\pi$

$2 \cos \theta + \sqrt{2} < 0$ より $\cos \theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\frac{3}{4}\pi < \theta < \frac{5}{4}\pi$

$\sin \theta < 0$ と合わせると $\pi < \theta < \frac{5}{4}\pi$

したがって、(i)と(ii)の場合を合わせると、

$0 < \theta < \frac{3}{4}\pi$ または $\pi < \theta < \frac{5}{4}\pi$

3. 最終的な答え

$0 < \theta < \frac{3}{4}\pi, \pi < \theta < \frac{5}{4}\pi$