$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解きます。 (1) $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解きます。

(1) $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$2\theta + \frac{\pi}{6} = x$ とおくと、$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $0 \le 2\theta < 4\pi$。よって、$\frac{\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} < 4\pi + \frac{\pi}{6}$。

したがって、$\frac{\pi}{6} \le x < \frac{25\pi}{6}$。

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $x$ は、

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}$ より $2\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$。よって、$\theta = \frac{\pi}{24}$。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4}$ より $2\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$。よって、$\theta = \frac{7\pi}{24}$。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{4}$ より $2\theta = \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{27\pi - 2\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$。よって、$\theta = \frac{25\pi}{24}$。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{4}$ より $2\theta = \frac{11\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{33\pi - 2\pi}{12} = \frac{31\pi}{12}$。よって、$\theta = \frac{31\pi}{24}$。

(2) $\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$2\theta + \frac{\pi}{4} = x$ とおくと、$\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $0 \le 2\theta < 4\pi$。よって、$\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} < 4\pi + \frac{\pi}{4}$。

したがって、$\frac{\pi}{4} \le x < \frac{17\pi}{4}$。

$\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は、

$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{17\pi}{6} < x < \frac{19\pi}{6}$。

$\frac{5\pi}{6} < 2\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} < 2\theta < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{10\pi - 3\pi}{12} < 2\theta < \frac{14\pi - 3\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{12} < 2\theta < \frac{11\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{24} < \theta < \frac{11\pi}{24}$

$\frac{17\pi}{6} < 2\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{19\pi}{6}$

$\frac{17\pi}{6} - \frac{\pi}{4} < 2\theta < \frac{19\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{34\pi - 3\pi}{12} < 2\theta < \frac{38\pi - 3\pi}{12}$

$\frac{31\pi}{12} < 2\theta < \frac{35\pi}{12}$

$\frac{31\pi}{24} < \theta < \frac{35\pi}{24}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{24}, \frac{7\pi}{24}, \frac{25\pi}{24}, \frac{31\pi}{24}$

(2) $\frac{7\pi}{24} < \theta < \frac{11\pi}{24}$, $\frac{31\pi}{24} < \theta < \frac{35\pi}{24}$