関数 $f(x) = x^2$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $x$ が1から3まで変化するときの平均変化率を求めます。 (2) $x=1$ における $f(x)$ の微分係数を定義から求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $x$ が1から3まで変化するときの平均変化率を求めます。

(2) $x=1$ における $f(x)$ の微分係数を定義から求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率は、変化の割合を表し、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ で計算できます。この問題では、$a=1$、$b=3$ なので、

平均変化率 $= \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ を計算します。

$f(3) = 3^2 = 9$

$f(1) = 1^2 = 1$

したがって、平均変化率 $= \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$ です。

(2) 微分係数の定義は、$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ です。

この問題では、$a=1$ なので、$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ を計算します。

$f(1+h) = (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2$

$f(1) = 1^2 = 1$

したがって、$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2