$a+b+c=0$ のとき、次の等式を証明する。 (1) $c^2 - 4ab = (a-b)^2$ (2) $2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、次の等式を証明する。

(1) $c^2 - 4ab = (a-b)^2$

(2) $2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c=0$ より、$c = -(a+b)$である。

左辺に代入すると、

$c^2 - 4ab = (-a-b)^2 - 4ab = (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

右辺は$(a-b)^2$である。よって、左辺=右辺となり、等式は成り立つ。

(2) $a+b+c=0$ より、$b+c = -a$である。

右辺を展開すると、$(a-b)(a-c) = a^2 - ac - ab + bc$

左辺を変形する。$2a^2 + bc = a^2 + a^2 + bc = a^2 + a(-b-c) + bc = a^2 - ab - ac + bc$

よって、左辺=右辺となり、等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $c^2 - 4ab = (a-b)^2$ は成り立つ。

(2) $2a^2 + bc = (a-b)(a-c)$ は成り立つ。