$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ である。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ より、$\sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta$ である。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(2\sqrt{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$8 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta = 2\sqrt{2} \times -\frac{1}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$