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$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi$ かつ $\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\sin\theta - \cos\theta$ (2) $\sin\theta + \cos\theta$ (3) $\sin\theta, \cos\theta$

解析学三角関数三角関数の合成三角関数の値加法定理
2025/4/27

1. 問題の内容

π2<θ<34π\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi かつ sin⁡θcos⁡θ=−14\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4} のとき、以下の値を求める。
(1) sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta
(2) sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta
(3) sin⁡θ,cos⁡θ\sin\theta, \cos\theta

2. 解き方の手順

(1) (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 を計算する。
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1−2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta
問題文より sin⁡θcos⁡θ=−14\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4} なので、
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2(−14)=1+12=32(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
π2<θ<34π\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi のとき、sin⁡θ>0\sin\theta > 0 かつ cos⁡θ<0\cos\theta < 0 なので、sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 である。
したがって、sin⁡θ−cos⁡θ=32=62\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}
(2) (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 を計算する。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta
問題文より sin⁡θcos⁡θ=−14\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4} なので、
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2(−14)=1−12=12(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2(-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
π2<θ<34π\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3}{4}\pi のとき、sin⁡θ>0\sin\theta > 0 かつ cos⁡θ<0\cos\theta < 0 である。
ここで、sin⁡θ−cos⁡θ=62\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2} であり、6>2\sqrt{6} > \sqrt{2} なので 62>22\frac{\sqrt{6}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2} となる。また、sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1 であり、cos⁡3π4=−22\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} となる。
この区間において ∣sin⁡θ∣>∣cos⁡θ∣|\sin\theta| > |\cos\theta| であるので、sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 である。
したがって、sin⁡θ+cos⁡θ=12=22\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
(3) sin⁡θ−cos⁡θ=62\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2} かつ sin⁡θ+cos⁡θ=22\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} なので、
sin⁡θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)+(sin⁡θ+cos⁡θ)2=62+222=6+24\sin\theta = \frac{(\sin\theta - \cos\theta) + (\sin\theta + \cos\theta)}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
cos⁡θ=−(sin⁡θ−cos⁡θ)+(sin⁡θ+cos⁡θ)2=−62+222=−6+24\cos\theta = \frac{-(\sin\theta - \cos\theta) + (\sin\theta + \cos\theta)}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡θ−cos⁡θ=62\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{2}
(2) sin⁡θ+cos⁡θ=22\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
(3) sin⁡θ=6+24\sin\theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, cos⁡θ=−6+24\cos\theta = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

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