三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, ∠ABC=45°のとき、BCの長さを求める。選択肢は、(1) $\sqrt{7} + \sqrt{2}$, (2) $\sqrt{7} - \sqrt{2}$, (3) $\sqrt{6} + \sqrt{2}$, (4) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, ∠ABC=45°のとき、BCの長さを求める。選択肢は、(1) $\sqrt{7} + \sqrt{2}$, (2) $\sqrt{7} - \sqrt{2}$, (3) $\sqrt{6} + \sqrt{2}$, (4) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ である。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

与えられた値を代入する。BCの長さを $a$ とおく。

$3^2 = 2^2 + a^2 - 2 \cdot 2 \cdot a \cdot \cos(45^\circ)$

$9 = 4 + a^2 - 4a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$9 = 4 + a^2 - 2\sqrt{2}a$

$a^2 - 2\sqrt{2}a - 5 = 0$

二次方程式の解の公式を用いる。

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$

$a = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 + 20}}{2}$

$a = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{28}}{2}$

$a = \frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{7}}{2}$

$a = \sqrt{2} \pm \sqrt{7}$

辺の長さなので、正の値をとる。

$a = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7} + \sqrt{2}$

選択肢(1)