(1) 極座標で点 A(2, π/4) を通り、直線 OA に垂直な直線の極方程式を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 極座標で点 A(2, π/4) を通り、直線 OA に垂直な直線の極方程式を求める問題。

2. 解き方の手順

極座標 (r, θ) と直交座標 (x, y) の関係は、

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

である。

点 A の直交座標は、

$x = 2 \cos(\pi/4) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$y = 2 \sin(\pi/4) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

であるから、A は $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ である。

直線 OA の傾きは 1 である。

直線 OA に垂直な直線の傾きは -1 である。

点 A を通り、傾きが -1 の直線の式は、

$y - \sqrt{2} = -1 (x - \sqrt{2})$

$y - \sqrt{2} = -x + \sqrt{2}$

$x + y = 2\sqrt{2}$

である。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を代入すると、

$r \cos \theta + r \sin \theta = 2\sqrt{2}$

$r (\cos \theta + \sin \theta) = 2\sqrt{2}$

$r \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta) = 2\sqrt{2}$

$r \sqrt{2} (\sin (\pi/4) \cos \theta + \cos (\pi/4) \sin \theta) = 2\sqrt{2}$

$r \sqrt{2} \sin (\theta + \pi/4) = 2\sqrt{2}$

$r \sin (\theta + \pi/4) = 2$

または、別の方法として、直線と原点Oの距離をdとする。

点Aを通りOAに垂直な直線の方程式は、

$r\cos(\theta - \pi/4) = d$ と表せる。

点A (2, π/4)を通るので、

$2\cos(\pi/4 - \pi/4) = d$

$2\cos(0) = d$

$d = 2$

よって、直線の方程式は

$r\cos(\theta - \pi/4) = 2$

$r(\cos\theta\cos(\pi/4)+\sin\theta\sin(\pi/4)) = 2$

$r(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta) = 2$

$r(\cos\theta+\sin\theta) = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$r \cos (\theta - \frac{\pi}{4}) = 2$