中心が極、半径が $a$ である円上の点 $(a, \frac{\pi}{3})$ における接線を求める。

1. 問題の内容

中心が極、半径が $a$ である円上の点 $(a, \frac{\pi}{3})$ における接線を求める。

2. 解き方の手順

円の極座標表示は $r = a$ で表される。

直交座標に変換すると、$x^2 + y^2 = a^2$ となる。

点 $(a, \frac{\pi}{3})$ の直交座標は $(a \cos{\frac{\pi}{3}}, a \sin{\frac{\pi}{3}}) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ である。

円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上の点 $(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ における接線の方程式は、

$\frac{a}{2}x + \frac{a\sqrt{3}}{2}y = a^2$ となる。

両辺を $a$ で割ると、

$\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = a$

$x + \sqrt{3}y = 2a$

直交座標を極座標に戻す。

$x = r \cos{\theta}$, $y = r \sin{\theta}$ を代入すると、

$r \cos{\theta} + \sqrt{3} r \sin{\theta} = 2a$

$r(\cos{\theta} + \sqrt{3} \sin{\theta}) = 2a$

ここで、$2 \sin{(\theta + \alpha)} = \cos{\theta} + \sqrt{3} \sin{\theta}$ となる $\alpha$ を見つける。

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin{\alpha} = \frac{1}{2}$ なので、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ である。

よって、

$r (2 \sin{(\theta + \frac{\pi}{6})}) = 2a$

$r \sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = a$

3. 最終的な答え

$r \sin{(\theta + \frac{\pi}{6})} = a$