三角形ABCにおいて、$AC=2$, $\angle ABC=45^\circ$, $\angle BAC=120^\circ$のとき、BCの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC=2$, $\angle ABC=45^\circ$, $\angle BAC=120^\circ$のとき、BCの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が$180^\circ$であることから、$\angle ACB$を求めます。

$$\angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC) = 180^\circ - (45^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$$

次に、正弦定理を使ってBCの長さを求めます。正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

ここで、$a=BC$, $b=AC=2$, $A=\angle BAC=120^\circ$, $B=\angle ABC=45^\circ$, $C=\angle ACB=15^\circ$です。

したがって、

$$\frac{BC}{\sin 120^\circ} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$$

$$BC = \frac{2 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$