ベクトル $\vec{a} = (2, -1, -2)$ が $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき, $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, -2)$ が $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき, $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ が $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき,

$\cos\alpha = \frac{a_1}{|\vec{a}|}$, $\cos\beta = \frac{a_2}{|\vec{a}|}$, $\cos\gamma = \frac{a_3}{|\vec{a}|}$ が成り立つ。

ここで, $|\vec{a}|$ は $\vec{a}$ の大きさであり, $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ で求められる。

与えられたベクトル $\vec{a} = (2, -1, -2)$ に対して, まず $|\vec{a}|$ を計算する。

$$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

したがって,

$$\cos\alpha = \frac{2}{3}$$

$$\cos\beta = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$$

$$\cos\gamma = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\cos\alpha = \frac{2}{3}$

$\cos\beta = -\frac{1}{3}$

$\cos\gamma = -\frac{2}{3}$