与えられた式 $4x^2 + 13xy - 35y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + 13xy - 35y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は2次式なので、$(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解できると仮定します。

係数を比較すると、$ac = 4$, $ad + bc = 13$, $bd = -35$ となります。

$ac = 4$ となる整数の組み合わせは $(1, 4)$, $(4, 1)$, $(2, 2)$, $(-1, -4)$, $(-4, -1)$, $(-2, -2)$ などがあります。

$bd = -35$ となる整数の組み合わせは $(1, -35)$, $(-1, 35)$, $(5, -7)$, $(-5, 7)$, $(7, -5)$, $(-7, 5)$, $(35, -1)$, $(-35, 1)$ などがあります。

いくつかの組み合わせを試して、$ad + bc = 13$ となるものを見つけます。

$a = 4$, $c = 1$, $b = -5$, $d = 7$ とすると、

$ad + bc = 4(7) + (-5)(1) = 28 - 5 = 23$ となり、これは違います。

$a = 4$, $c = 1$, $b = 5$, $d = -7$ とすると、

$ad + bc = 4(-7) + (5)(1) = -28 + 5 = -23$ となり、これも違います。

$a = 1$, $c = 4$, $b = -5$, $d = 7$ とすると、

$ad + bc = 1(7) + (-5)(4) = 7 - 20 = -13$ となり、符号が違います。

$a = 1$, $c = 4$, $b = 5$, $d = -7$ とすると、

$ad + bc = 1(-7) + (5)(4) = -7 + 20 = 13$ となり、これが条件を満たします。

よって、因数分解の結果は $(x + 5y)(4x - 7y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x + 5y)(4x - 7y)$