第3項が6、第7項が22である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。 (1) 初項と公差を求めよ。 (2) 一般項を求めよ。 (3) 第50項を求めよ。 (4) 50は第何項か。

1. 問題の内容

第3項が6、第7項が22である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。

(1) 初項と公差を求めよ。

(2) 一般項を求めよ。

(3) 第50項を求めよ。

(4) 50は第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$ 、公差を $d$ とする。等差数列の第 $n$ 項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。

第3項が6であることから、 $a + 2d = 6$

第7項が22であることから、 $a + 6d = 22$

2つの式を連立方程式として解く。

$a + 6d = 22$

$a + 2d = 6$

上の式から下の式を引くと、

$4d = 16$

$d = 4$

$d = 4$ を $a + 2d = 6$ に代入すると、

$a + 2(4) = 6$

$a + 8 = 6$

$a = -2$

(2) 一般項 $a_n$ は、初項 $a = -2$ 、公差 $d = 4$ を用いて、

$a_n = a + (n-1)d = -2 + (n-1)4 = -2 + 4n - 4 = 4n - 6$

(3) 第50項は、一般項に $n = 50$ を代入して、

$a_{50} = 4(50) - 6 = 200 - 6 = 194$

(4) $a_n = 50$ となる $n$ を求める。

$4n - 6 = 50$

$4n = 56$

$n = 14$

3. 最終的な答え

(1) 初項: -2, 公差: 4

(2) 一般項: $a_n = 4n - 6$

(3) 第50項: 194

(4) 第14項