与えられた式 $x^6 - 9x^3 + 8$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 9x^3 + 8$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = y$ とおくと、与えられた式は $y^2 - 9y + 8$ となる。

これは $y$ に関する2次式なので、因数分解できる可能性がある。

$y^2 - 9y + 8$ を因数分解する。

積が 8、和が -9 となる2つの数は、-1 と -8 である。

したがって、$y^2 - 9y + 8 = (y - 1)(y - 8)$ と因数分解できる。

次に、$y = x^3$ を代入すると、

$(y - 1)(y - 8) = (x^3 - 1)(x^3 - 8)$ となる。

ここで、$x^3 - 1$ と $x^3 - 8$ はそれぞれ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の形に変形できる。

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3$ なので、$a = x, b = 1$ を代入すると、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ となる。

また、$x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ なので、$a = x, b = 2$ を代入すると、

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ となる。

したがって、$(x^3 - 1)(x^3 - 8) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ となる。

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x - 2)(x^2 + x + 1)(x^2 + 2x + 4)$