関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $x$ が $-1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率を求めます。 (2) $x = -1$ における $f(x)$ の微分係数 $f'(-1)$ を定義から求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $x$ が $-1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率を求めます。

(2) $x = -1$ における $f(x)$ の微分係数 $f'(-1)$ を定義から求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率は、$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)}$ で計算できます。

まず、$f(2)$ と $f(-1)$ を計算します。

$f(2) = 2^2 - 7(2) + 4 = 4 - 14 + 4 = -6$

$f(-1) = (-1)^2 - 7(-1) + 4 = 1 + 7 + 4 = 12$

したがって、平均変化率は $\frac{-6 - 12}{2 - (-1)} = \frac{-18}{3} = -6$ となります。

(2) 微分係数の定義は、$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ です。

$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を求めるので、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$ を計算します。

$f(-1 + h) = (-1 + h)^2 - 7(-1 + h) + 4 = (1 - 2h + h^2) + 7 - 7h + 4 = h^2 - 9h + 12$

$f(-1) = 12$ (すでに計算済み)

したがって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 - 9h + 12) - 12}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 9h}{h} = \lim_{h \to 0} (h - 9) = -9$

よって、$f'(-1) = -9$ です。

3. 最終的な答え

(1) 平均変化率: -6

(2) $f'(-1)$: -9