$\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{1/x^2}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{1/x^2}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $y$ とおきます。

$y = \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{1/x^2}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \lim_{x \to 0} \ln \left( (\frac{\sin x}{x})^{1/x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left( \frac{\sin x}{x} \right)$

ここで、$\sin x$ のテイラー展開を考えます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

$\ln(1+x)$ のテイラー展開は $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ です。

$\ln \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \ln \left( 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots \right)$

$\approx -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots \right)^2 + \cdots$

$\approx -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{1}{2} \left( \frac{x^4}{36} \right) + \cdots$

$\approx -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{x^4}{72} + \cdots$

$\approx -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + \cdots$

$\ln y = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \left( -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + \cdots \right) = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} - \frac{x^2}{180} + \cdots \right) = -\frac{1}{6}$

$\ln y = -\frac{1}{6}$ なので、$y = e^{-1/6}$ となります。

3. 最終的な答え

$e^{-1/6}$