関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ が $x=3$ で微分可能かどうかを調べ、微分可能ならばその微分係数 $f'(3)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ が $x=3$ で微分可能かどうかを調べ、微分可能ならばその微分係数 $f'(3)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、

$$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

次に、$x=3$ における微分係数 $f'(3)$ を計算します。

$$f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$$

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ は $x \neq 0$ で微分可能です。$x=3$ は $x \neq 0$ の条件を満たすので、$x=3$ で微分可能です。

3. 最終的な答え

微分可能であり、微分係数は $-\frac{1}{9}$ です。