(1) $\cos^{-1}\frac{1}{2}$ の値を求める。 (2) $\tan(\sin^{-1}\frac{2}{3})$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\cos^{-1}\frac{1}{2}$ の値を求める。

(2) $\tan(\sin^{-1}\frac{2}{3})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos^{-1}\frac{1}{2}$ の値を $\theta$ とおく。このとき、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ の値を求める。$\cos\theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$である。

(2) $\sin^{-1}\frac{2}{3}$ の値を $\theta$ とおく。このとき、$\sin\theta = \frac{2}{3}$ となる。$\tan(\sin^{-1}\frac{2}{3}) = \tan \theta$ の値を求める。

$\sin\theta = \frac{2}{3}$ であるから、直角三角形を考えると、対辺の長さが2、斜辺の長さが3となる。

三平方の定理より、隣辺の長さを $x$ とすると、

$x^2 + 2^2 = 3^2$

$x^2 + 4 = 9$

$x^2 = 5$

$x = \sqrt{5}$

よって、$\tan\theta = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$