複素関数 $f(z) = w = \frac{1}{z}$ （ただし、$w \neq 0$）を考える。複素数 $z$ が $|z| = |z - 1 - i|$ を満たしながら $z$ 平面上を動くとき、$w$ の軌跡がどのような図形になるかを求め、それを文章で記述する。ただし、$z = x + iy$, $w = u + iv$とする。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = w = \frac{1}{z}$ （ただし、$w \neq 0$）を考える。複素数 $z$ が $|z| = |z - 1 - i|$ を満たしながら $z$ 平面上を動くとき、$w$ の軌跡がどのような図形になるかを求め、それを文章で記述する。ただし、$z = x + iy$, $w = u + iv$とする。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $|z| = |z - 1 - i|$ を変形していく。

$z = x + iy$ を代入すると、

$|x + iy| = |(x-1) + i(y-1)|$

両辺を2乗して、

$x^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2$

$x^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1$

$0 = -2x - 2y + 2$

$2x + 2y = 2$

$x + y = 1$

これは $z$ 平面における直線を表す。

次に、$w = \frac{1}{z}$ より、$z = \frac{1}{w}$ である。

$z = x + iy$, $w = u + iv$ を代入すると、

$x + iy = \frac{1}{u + iv} = \frac{u - iv}{(u + iv)(u - iv)} = \frac{u - iv}{u^2 + v^2}$

したがって、$x = \frac{u}{u^2 + v^2}$, $y = \frac{-v}{u^2 + v^2}$

$x + y = 1$ に代入すると、

$\frac{u}{u^2 + v^2} + \frac{-v}{u^2 + v^2} = 1$

$u - v = u^2 + v^2$

$u^2 - u + v^2 + v = 0$

$(u^2 - u + \frac{1}{4}) + (v^2 + v + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

$(u - \frac{1}{2})^2 + (v + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

これは $w$ 平面における中心 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円を表す。

ただし、原点を通るため、原点は除外する必要がある。

$w = 0$ となるのは $z = \infty$ の時。

$z = x + iy$ において $x + y = 1$ が成り立つため、原点を除いた円となる。

3. 最終的な答え

$w$ の軌跡は、$w$ 平面において中心が $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$、半径が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円である。ただし、原点を除く。

つまり、$(u - \frac{1}{2})^2 + (v + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ で表される円であり、$w \neq 0$ 。