ABを直径とする円Oの周上に点C, Dがあり、$\angle ABC = 40^\circ$、BD=CDである。このとき、$\angle ACD$の大きさを求める。

1. 問題の内容

ABを直径とする円Oの周上に点C, Dがあり、$\angle ABC = 40^\circ$、BD=CDである。このとき、$\angle ACD$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

* ABは直径なので、$\angle ACB = 90^\circ$ である。

* $\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$である。

* BD=CDより、$\angle CBD = \angle BCD$である。

* $\angle BOD = 2 \angle BCD$（円周角の定理）

* $\angle CBD = \angle BCD = x$とおくと、$\angle BOD = 2x$となる。

* $\angle AOD = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 2x$

* また、$\angle AOD = 2 \angle ACD$（円周角の定理）

* よって、$\angle ACD = \frac{1}{2} (180^\circ - 2x) = 90^\circ - x$

* $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 40^\circ - x$

* $\angle ABD = \angle ACD$（円周角の定理）

* よって、$40^\circ - x = 90^\circ - x$

* $\angle BAC = 50^\circ$なので、$\angle BOC=2\angle BAC=100^\circ$

* $\angle DOB=\angle DOC=y$とおくと、$40^\circ+2y=180^\circ$より$2y=80^\circ$となり、$y=40^\circ$。

* $\angle CAD=\angle CBD$なので、$\angle CAD=x$とおく。

* また、$\angle ACD=z$とおくと、$\angle ABD=z$。

* $\angle ABC=40^\circ$より$\angle CBD=40^\circ-z$。よって、$\angle CAD=\angle CBD=40^\circ-z=x$。

* $\angle BAD = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 2x$

* $\angle BAD + \angle BOD = 180^\circ$

* $\angle ACB = 90^\circ$ より $\angle BAC = 50^\circ$.

* $\angle BDC = \angle BAC = 50^\circ$

* $\angle DBC = \angle DCB$ より、 $\angle DBC = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ$.

* $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 40^\circ - \angle BDC$

* $\angle DBC=x$とおくと、$\angle BCD=x$。

* $\angle DOB = 2x$となる。

* $\angle AOD = 180-2x$

* $\angle ACD = 25^\circ$

と仮定すると、$\angle AOD =2*\angle ACD=50$となるので、$\angle BOD=130$。

よって、$x=\frac{130}{2}=65$。

* $\angle ACB=90$。$\angle BCD=65$なので$\angle ACD=25$。

3. 最終的な答え

25