(1) $sin75° + sin120° - cos150° + cos165°$ の値を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$BC = 8$, $AC = 6$, $AB = 7$ であるとき、$cosB$ の値と$\triangle ABC$ の外接円の半径の長さを求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $sin75° + sin120° - cos150° + cos165°$ の値を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$BC = 8$, $AC = 6$, $AB = 7$ であるとき、$cosB$ の値と$\triangle ABC$ の外接円の半径の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos150° = cos(180° - 30°) = -cos30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos165° = cos(180° - 15°) = -cos15° = -cos(45° - 30°) = -(cos45°cos30° + sin45°sin30°) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、

$sin75° + sin120° - cos150° + cos165° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{3}$

(2)

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosB$

$6^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot cosB$

$36 = 49 + 64 - 112cosB$

$112cosB = 49 + 64 - 36 = 77$

$cosB = \frac{77}{112} = \frac{11}{16}$

正弦定理より、外接円の半径Rは

$\frac{AC}{sinB} = 2R$

$sin^2B + cos^2B = 1$ より、

$sin^2B = 1 - cos^2B = 1 - (\frac{11}{16})^2 = 1 - \frac{121}{256} = \frac{256 - 121}{256} = \frac{135}{256}$

$sinB = \sqrt{\frac{135}{256}} = \frac{\sqrt{135}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$

$2R = \frac{6}{\frac{3\sqrt{15}}{16}} = \frac{6 \cdot 16}{3\sqrt{15}} = \frac{2 \cdot 16}{\sqrt{15}} = \frac{32}{\sqrt{15}} = \frac{32\sqrt{15}}{15}$

$R = \frac{16\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $cosB = \frac{11}{16}$ 、外接円の半径 $R = \frac{16\sqrt{15}}{15}$