円に内接する四角形ABCDがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB=2, CD=5, BP=4のとき、以下の問いに答える。 (1) 線分PCの長さを求めよ。 (2) PQ: QRを求めよ。 (3) AQ: BQを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB=2, CD=5, BP=4のとき、以下の問いに答える。

(1) 線分PCの長さを求めよ。

(2) PQ: QRを求めよ。

(3) AQ: BQを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立つ。

$PA = AB + BP = 2 + 4 = 6$

$PB = 4$

$PA \cdot PB = 6 \cdot 4 = 24$

$PD = PC + CD = PC + 5$

したがって、$PC \cdot (PC + 5) = 24$

$PC^2 + 5PC - 24 = 0$

$(PC - 3)(PC + 8) = 0$

$PC > 0$ より、$PC = 3$

(2) これは少し難しい問題です。まず、点 R は調和点列(P, R; A, D)をなすことが知られています。

つまり、$\frac{AP}{AD} = \frac{RP}{RD}$が成り立ちます。また、四角形ABCDの内接性から、$\angle BAC = \angle BDC$, $\angle ABD = \angle ACD$ が成り立ちます。

$\triangle PAQ \sim \triangle PDB$ より、$\frac{PQ}{PB} = \frac{PA}{PD}$

$PA = 6$, $PB = 4$, $PC = 3$, $CD = 5$ より $PD = PC + CD = 3+5 = 8$

$\frac{PQ}{4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$PQ = 3$

R が直線 AD 上にあり、調和点列をなすという性質を使うのですが、求めるのが PQ:QR なので、別の方法を探します。

方べきの定理を使います。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ は既に示しました。

$\triangle QAB \sim \triangle QDC$ なので、$\frac{QA}{QD} = \frac{QB}{QC} = \frac{AB}{DC} = \frac{2}{5}$

したがって、$5QA = 2QD$ であり $5QB = 2QC$.

しかし、PQ:QR を求める方法は今のところ不明です。

(3) メネラウスの定理を三角形 ABD と直線 ACQ に適用すると、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

$\frac{AQ}{QC} = \frac{4}{3} \cdot \frac{DA}{BD}$

メネラウスの定理を三角形 ACD と直線 BDQ に適用すると、

$\frac{AQ}{QC} = \frac{2}{5}$ なので、$5QA = 2QD$

$\frac{AB}{BP} \cdot \frac{PD}{DC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{5} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{QA}{CQ} = \frac{4}{5}$

$5QA = 4CQ$

$AQ:QC = 4:5$ なので $5AQ=4QC$であり、$BQ:QD = 2:5$なので $5BQ=2QD$です.

したがって$AQ:BQ=2:5$となります.

3. 最終的な答え

(1) PC = 3

(2) PQ:QR = 解答不能

(3) AQ: BQ = 2: 5