点A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, -1) が与えられている。平面ABCに原点Oから下ろした垂線の足Hの座標と線分OHの長さを求める。

1. 問題の内容

点A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, -1) が与えられている。平面ABCに原点Oから下ろした垂線の足Hの座標と線分OHの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、平面ABCの方程式を求める。平面上の任意の点をP(x, y, z)とする。ベクトルAP, AB, ACは同一平面上にあるため、

$\overrightarrow{AP} = (x-1, y, z)$

$\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$

$\overrightarrow{AC} = (-1, 0, -1)$

これらのベクトルが一次従属である条件は、以下の行列式が0になることである。

$\begin{vmatrix} x-1 & y & z \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$

これを計算すると、

$(x-1)(-2 - 0) - y(1 - 0) + z(0 - (-2)) = 0$

$-2(x-1) - y + 2z = 0$

$-2x + 2 - y + 2z = 0$

$2x + y - 2z = 2$

これが平面ABCの方程式である。

次に、直線OHは平面ABCに垂直なので、その方向ベクトルは平面の法線ベクトルと平行である。平面ABCの法線ベクトルは $\vec{n} = (2, 1, -2)$ である。

したがって、直線OHは $t$ を実数として、

$\overrightarrow{OH} = t\vec{n} = (2t, t, -2t)$

と表せる。点Hは平面ABC上にあるので、Hの座標を平面ABCの方程式に代入すると、

$2(2t) + t - 2(-2t) = 2$

$4t + t + 4t = 2$

$9t = 2$

$t = \frac{2}{9}$

したがって、Hの座標は

$H = (2 \cdot \frac{2}{9}, \frac{2}{9}, -2 \cdot \frac{2}{9}) = (\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{4}{9})$

線分OHの長さは

$|\overrightarrow{OH}| = \sqrt{(\frac{4}{9})^2 + (\frac{2}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2} = \sqrt{\frac{16}{81} + \frac{4}{81} + \frac{16}{81}} = \sqrt{\frac{36}{81}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

Hの座標: $(\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{4}{9})$

OHの長さ: $\frac{2}{3}$