半角の公式を用いて、$\sin 15^\circ$, $\cos 15^\circ$, $\cos 67.5^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半角の公式を用いて、$\sin 15^\circ$, $\cos 15^\circ$, $\cos 67.5^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 15^\circ$を求める。

半角の公式 $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ を用いる。

$\theta = 30^\circ$ とすると、$\frac{\theta}{2} = 15^\circ$ である。

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$15^\circ$ は第一象限の角なので、$\sin 15^\circ > 0$ であるから、

$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

ここで、二重根号を外すことを考える。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

よって、

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 15^\circ$を求める。

半角の公式 $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ を用いる。

$\theta = 30^\circ$ とすると、$\frac{\theta}{2} = 15^\circ$ である。

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$15^\circ$ は第一象限の角なので、$\cos 15^\circ > 0$ であるから、

$\cos 15^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

ここで、二重根号を外すことを考える。

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

よって、

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\cos 67.5^\circ$を求める。

半角の公式 $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ を用いる。

$\theta = 135^\circ$ とすると、$\frac{\theta}{2} = 67.5^\circ$ である。

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\cos^2 67.5^\circ = \frac{1 + \cos 135^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$67.5^\circ$ は第一象限の角なので、$\cos 67.5^\circ > 0$ であるから、

$\cos 67.5^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\cos 67.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$