(1) 点A(-2, 0), 点B(2, 0)を焦点とする双曲線Eの方程式を求める問題。双曲線の方程式を $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ とおき、条件から $a, b$ の値を求める。 (2) 点A(0, -1), 点B(0, 3)を焦点とする楕円の方程式を選ぶ問題。

1. 問題の内容

(1) 点A(-2, 0), 点B(2, 0)を焦点とする双曲線Eの方程式を求める問題。双曲線の方程式を $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ とおき、条件から $a, b$ の値を求める。

(2) 点A(0, -1), 点B(0, 3)を焦点とする楕円の方程式を選ぶ問題。

2. 解き方の手順

(1)

* 焦点の座標から、焦点のx座標は $\pm 2$ なので、$\sqrt{a^2 + b^2} = 2$。よって、$\sqrt{a^2 + b^2} = 2$ が成り立つ。

* 双曲線の主軸の長さは $2a$ であり、問題文から$2a = 2$だから、$a=1$。

* $\sqrt{a^2 + b^2} = 2$ に $a=1$ を代入して、$\sqrt{1 + b^2} = 2$。両辺を2乗すると、$1 + b^2 = 4$。よって、$b^2 = 3$。

* 双曲線Eの方程式は $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ より、 $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$。

(2)

* 楕円の中心は焦点の中点なので、中心の座標は (0, 1)。

* 焦点がy軸上にあるので、楕円の長軸はy軸に平行である。よって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1$ とおける。

* 焦点の座標から、$b > a$ であり、$\sqrt{b^2 - a^2} = 2$ (中心からの焦点までの距離)。よって、$b^2 - a^2 = 4$。

* また、楕円は (0, -1)と(0,3)を通る。 $x=0$を代入すると、$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-1)^2}{b^2} = \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1$。

* $\frac{(-1-1)^2}{b^2} = 1$ より $\frac{(-2)^2}{b^2} = 1$ なので、$b^2 = 4$。

* $\frac{(3-1)^2}{b^2} = 1$ より $\frac{(2)^2}{b^2} = 1$ なので、$b^2 = 4$。

* $b^2 - a^2 = 4$ に $b^2 = 4$を代入すると、$4 - a^2 = 4$ なので、$a^2 = 0$となり矛盾。

* 選択肢の中で楕円の方程式の形になっているものを探す。

* (3) $5x^2 + 9y^2 - 18y - 36 = 0$ を変形すると、 $5x^2 + 9(y^2 - 2y) - 36 = 0$。 $5x^2 + 9(y^2 - 2y + 1) - 9 - 36 = 0$。 $5x^2 + 9(y - 1)^2 - 45 = 0$。 $5x^2 + 9(y - 1)^2 = 45$。 $\frac{x^2}{9} + \frac{(y-1)^2}{5} = 1$。これは楕円の方程式である。

* したがって、答えは(3)。

3. 最終的な答え

セ: 2

ソ: 2

タ: 1

チ: 3

ツ: 3