円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3\sqrt{2}$, $CD=2$, $\angle B = 45^\circ$とする。 (1) ACの長さを求めよ。 (2) ADの長さを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3\sqrt{2}$, $CD=2$, $\angle B = 45^\circ$とする。

(1) ACの長さを求めよ。

(2) ADの長さを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

三角形ABCに余弦定理を適用する。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$AC^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos{45^\circ}$

$AC^2 = 16 + 18 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AC^2 = 34 - 24 = 10$

$AC = \sqrt{10}$

(2) ADの長さを求める。

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

三角形ACDに余弦定理を適用する。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}$

$10 = AD^2 + 2^2 - 2 \cdot AD \cdot 2 \cdot \cos{135^\circ}$

$10 = AD^2 + 4 - 4 \cdot AD \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$AD^2 + 2\sqrt{2}AD - 6 = 0$

$AD = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2}$

$AD = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 + 24}}{2}$

$AD = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2}$

$AD = \frac{-2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$AD = -\sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}$

$AD > 0$より、$AD = -\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積 = 三角形ABCの面積 + 三角形ACDの面積

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6$

三角形ACDの面積 = $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{D} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sin{135^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

四角形ABCDの面積 = $6+1 = 7$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{10}$

(2) $AD = \sqrt{2}$

(3) 四角形ABCDの面積 = 7