円周上に点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB=2, CD=5, BP=4のとき、線分PCの長さ、PQ:QR、AQ:BQを求める。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB=2, CD=5, BP=4のとき、線分PCの長さ、PQ:QR、AQ:BQを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分PCの長さを求める。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。

$PA = AB + BP = 2 + 4 = 6$

$PB = 4$

$PA \cdot PB = 6 \cdot 4 = 24$

また、$PD = PC + CD = PC + 5$

したがって、$PC(PC + 5) = 24$

$PC^2 + 5PC - 24 = 0$

$(PC + 8)(PC - 3) = 0$

$PC > 0$より、$PC = 3$

(2) PQ:QRを求める。

メネラウスの定理より、$\frac{PA}{AB} \cdot \frac{BQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RP} = 1$かつ$\frac{PC}{CD} \cdot \frac{DR}{RA} \cdot \frac{AP}{PC} = 1$

また、$\frac{PA}{AB}=\frac{6}{2}=3$

$\frac{PC}{CD}=\frac{3}{5}$

方べきの定理より、$AQ \cdot QC = BQ \cdot QD$

また、$AR \cdot RD = CR \cdot RB$

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = \angle BDC$、$\angle ABD = \angle ACD$

$\triangle ABQ$と$\triangle DCQ$は相似

したがって、$AQ:DQ = BQ:CQ = AB:CD = 2:5$

$\frac{AQ}{DQ} = \frac{2}{5}$

$\frac{BQ}{CQ} = \frac{2}{5}$

$AQ:BQ$を求める必要があるので一旦飛ばす。

直線PQとADについて、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$が成り立つ。

$\frac{AP}{PB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\frac{AC}{CQ}=\frac{AQ+QC}{QC}=\frac{AQ}{QC}+1$

$\frac{BD}{BQ}=\frac{BQ+QD}{BQ}=1+\frac{QD}{BQ}$

$P, C, Q$は同一直線上に存在するので、

$P, Q, R$についても同一線上にある。

$\triangle PAR$でメネラウスの定理を適用すると

$\frac{PC}{CD} \cdot \frac{DA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QP}=1$が成り立つ。

よって、$\frac{3}{5} \cdot \frac{DA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QP}=1$

$\triangle PDR$でメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{PA}{AB} \cdot \frac{BQ}{QD} \cdot \frac{DR}{RP}=1$より、$\frac{6}{2} \cdot \frac{BQ}{QD} \cdot \frac{DR}{RP}=1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{BQ}{QD} \cdot \frac{DR}{RP}=1$

$PQ:QR = 5:2$

(3) AQ: BQを求めよ。

$\triangle ABQ$と$\triangle DCQ$は相似であるから、$AQ:DQ=BQ:CQ=AB:CD=2:5$

ここで、$AC \cap BD = Q$であるから、$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$（トレミーの定理）

しかし、$AD$と$BC$の情報がないので、トレミーの定理は使えない。

$\frac{AQ}{BQ}$を求める

$AQ:DQ=2:5$より、$AQ=\frac{2}{5}DQ$

$BQ:CQ=2:5$より、$BQ=\frac{2}{5}CQ$

よって、$\frac{AQ}{BQ}=\frac{\frac{2}{5}DQ}{\frac{2}{5}CQ}=\frac{DQ}{CQ}=1$

したがって、$AQ:BQ=1:1$

3. 最終的な答え

(1) PC = 3

(2) PQ:QR = 5:2

(3) AQ:BQ = 1:1