三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。3点C,A,Dを通る円が辺ABと交わる点をEとする。CD=2, BD=4, AE=5であるとき、以下の問いに答える。 (1) 線分BE, ACの長さを求めよ。 (2) 点Bからこの円に引いた接線の接点をTとするとき、線分BTの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。3点C,A,Dを通る円が辺ABと交わる点をEとする。CD=2, BD=4, AE=5であるとき、以下の問いに答える。

(1) 線分BE, ACの長さを求めよ。

(2) 点Bからこの円に引いた接線の接点をTとするとき、線分BTの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず角の二等分線の性質より、$AB:AC = BD:CD$が成り立つ。

$BD = 4$, $CD = 2$なので、$AB:AC = 4:2 = 2:1$。

よって、$AB = 2AC$。

次に、方べきの定理より、$BE \cdot BA = BD \cdot BC$が成り立つ。

$BC = BD + DC = 4+2 = 6$なので、$BE \cdot BA = 4 \cdot 6 = 24$。

ここで、$BA = BE + EA = BE + 5$である。

したがって、$BE(BE+5) = 24$。

$BE^2 + 5BE - 24 = 0$を解くと、

$(BE+8)(BE-3) = 0$となる。

$BE>0$より、$BE=3$。

$BA = BE+5 = 3+5 = 8$。

$AB = 2AC$だったので、$8 = 2AC$より、$AC = 4$。

(2)

方べきの定理より、$BT^2 = BE \cdot BA$が成り立つ。

(1)より、$BE=3$, $BA=8$なので、$BT^2 = 3 \cdot 8 = 24$。

したがって、$BT = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $BE=3$, $AC=4$

(2) $BT=2\sqrt{6}$