円周上に点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB=2, CD=5, BP=4のとき、以下の問いに答える。 (1) 線分PCの長さを求めよ。 (2) PQ: QRを求めよ。 (3) AQ: BQを求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB=2, CD=5, BP=4のとき、以下の問いに答える。

(1) 線分PCの長さを求めよ。

(2) PQ: QRを求めよ。

(3) AQ: BQを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分PCの長さを求める。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。

$PA = AB + BP = 2 + 4 = 6$

$PB = 4$

$PD = PC + CD = PC + 5$

上記の値を方べきの定理に代入すると、

$6 \cdot 4 = PC \cdot (PC + 5)$

$24 = PC^2 + 5PC$

$PC^2 + 5PC - 24 = 0$

$(PC + 8)(PC - 3) = 0$

$PC$は長さなので、$PC > 0$。よって、$PC = 3$となる。

(2) PQ: QRを求める。

三角形PADにおいて、直線PQRが辺AD, AP, DPとそれぞれR, Q, ∞で交わる。

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RD} \cdot \frac{DC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

三角形PADにおいて直線AC,BDがそれぞれQで交わるから、Qは三角形PABと三角形PCDの相似の中心となる。

従って、角PAQ = 角DCQ, 角PBQ = 角PCQであり、ABとCDは平行ではない。

ここで、角AQR = 角CQD = 角CQBなので、角AQR = 角CQB.

また、角QBR = 角QCR

(3) AQ: BQを求める。

$\triangle ABQ$と$\triangle CDQ$において、

$\angle BAQ = \angle DCQ$

$\angle ABQ = \angle CDQ$

$\triangle ABQ \sim \triangle CDQ$ (2角相当)

$\frac{AQ}{CQ} = \frac{BQ}{DQ} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{5}$

よって、$AQ: CQ = 2:5$

また、$BQ: DQ = 2:5$

3. 最終的な答え

(1) $PC = 3$

(2) 解答不能

(3) $AQ: BQ = 2:x$ (xは不明)