平面上の互いに直交する単位ベクトル $e_1$, $e_2$ を用いて座標系を定義する。このとき、ベクトル $ae_1 + be_2$ （ただし $a,b$ は実数）が直線 $ax + by = 0$ に垂直であることを示す。

1. 問題の内容

平面上の互いに直交する単位ベクトル $e_1$, $e_2$ を用いて座標系を定義する。このとき、ベクトル $ae_1 + be_2$ （ただし $a,b$ は実数）が直線 $ax + by = 0$ に垂直であることを示す。

2. 解き方の手順

与えられた直線 $ax + by = 0$ 上の任意の点を $(x, y)$ とすると、この点は直線上の点なので、$ax + by = 0$ を満たす。

この点に対応する位置ベクトルを $\vec{v}$ とすると、$\vec{v} = xe_1 + ye_2$ と表せる。

ベクトル $ae_1 + be_2$ と直線上のベクトル $\vec{v} = xe_1 + ye_2$ が垂直であることを示すには、これらの内積が0になることを示せばよい。

内積 $(ae_1 + be_2) \cdot (xe_1 + ye_2)$ を計算する。$e_1$ と $e_2$ は互いに直交する単位ベクトルであるから、$e_1 \cdot e_1 = 1$, $e_2 \cdot e_2 = 1$, $e_1 \cdot e_2 = e_2 \cdot e_1 = 0$ である。

$(ae_1 + be_2) \cdot (xe_1 + ye_2) = a(e_1 \cdot xe_1) + a(e_1 \cdot ye_2) + b(e_2 \cdot xe_1) + b(e_2 \cdot ye_2)$

$= ax(e_1 \cdot e_1) + ay(e_1 \cdot e_2) + bx(e_2 \cdot e_1) + by(e_2 \cdot e_2)$

$= ax(1) + ay(0) + bx(0) + by(1)$

$= ax + by$

直線上の点 $(x, y)$ は $ax + by = 0$ を満たすので、

$(ae_1 + be_2) \cdot (xe_1 + ye_2) = ax + by = 0$

したがって、ベクトル $ae_1 + be_2$ と直線 $ax + by = 0$ 上のベクトル $\vec{v} = xe_1 + ye_2$ は直交する。

これは、ベクトル $ae_1 + be_2$ が直線 $ax + by = 0$ に垂直であることを意味する。

3. 最終的な答え

ベクトル $ae_1 + be_2$ は直線 $ax + by = 0$ に垂直である。