全体集合 $U = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$、部分集合 $A = \{4, 5, 7, 8, 11\}$、部分集合 $B = \{4, 9, 10, 11\}$ が与えられています。 (1) $A \cap B$ の補集合 $\overline{A \cap B}$ を求めます。 (2) $A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ を求めます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$、部分集合 $A = \{4, 5, 7, 8, 11\}$、部分集合 $B = \{4, 9, 10, 11\}$ が与えられています。

(1) $A \cap B$ の補集合 $\overline{A \cap B}$ を求めます。

(2) $A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ を求めます。$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{4, 11\}$

$A \cap B$ の補集合 $\overline{A \cap B}$ は、$U$ に含まれていて、$A \cap B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B)$

$\overline{A \cap B} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} - \{4, 11\} = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$

(2) $A \cup B$ を求めます。$A \cup B$ は、$A$ または $B$ (または両方) に含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{4, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$

$A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ は、$U$ に含まれていて、$A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B)$

$\overline{A \cup B} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} - \{4, 5, 7, 8, 9, 10, 11\} = \{6, 12\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cap B} = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\}$

(2) $\overline{A \cup B} = \{6, 12\}$