直角三角形ABCにおいて、点PがBを出発し、毎秒3cmの速さで辺BC上をCに向かって移動する。点PがBを出発してからx秒後の三角形ABPの面積を$y$ cm$^2$とする。 (1) 点Pが辺BC上を動いているとき、$y$を$x$の式で表す。 (2) (1)のときの$x$の変域を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PがBを出発し、毎秒3cmの速さで辺BC上をCに向かって移動する。点PがBを出発してからx秒後の三角形ABPの面積を$y$ cm$^2$とする。

(1) 点Pが辺BC上を動いているとき、$y$を$x$の式で表す。

(2) (1)のときの$x$の変域を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが辺BC上を動いているとき、BPの長さは$3x$ cmである。三角形ABPの面積$y$は、底辺BP、高さABの三角形の面積として計算できる。

$y = \frac{1}{2} \times BP \times AB$

$y = \frac{1}{2} \times 3x \times 6$

$y = 9x$

(2)

点PがBからCまで移動する時間を求める。BCの長さは9cmで、点Pは毎秒3cmで移動するので、時間は$9/3 = 3$秒である。

したがって、$x$の変域は、点PがBを出発してからCに到着するまでの時間なので、$0 \leq x \leq 3$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 9x$

(2) $0 \leq x \leq 3$