この問題は、以下の2つの等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題と、初項から第3項までの和と、第2項から第4項までの和が与えられた等比数列の初項と公比を求める問題です。 (1) 初項3、公比2の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。 (2) 初項1、公比$\frac{1}{2}$の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。 (3) 初項から第3項までの和が3、第2項から第4項までの和が-6である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

1. 問題の内容

この問題は、以下の2つの等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題と、初項から第3項までの和と、第2項から第4項までの和が与えられた等比数列の初項と公比を求める問題です。

(1) 初項3、公比2の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

(2) 初項1、公比$\frac{1}{2}$の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

(3) 初項から第3項までの和が3、第2項から第4項までの和が-6である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a = 3$、公比 $r = 2$ の等比数列の和 $S_n$ は、以下の公式で求められます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

これに $a = 3$、 $r = 2$ を代入すると、

$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$

(2) 初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{2}$ の等比数列の和 $S_n$ は、以下の公式で求められます。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

これに $a = 1$、$r = \frac{1}{2}$を代入すると、

$S_n = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - (\frac{1}{2})^n) = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$

(3) 初項を $a$、公比を $r$ とします。

初項から第3項までの和が3であることから、

$a + ar + ar^2 = 3$

第2項から第4項までの和が-6であることから、

$ar + ar^2 + ar^3 = -6$

2番目の式を $r$ でくくると、

$r(a + ar + ar^2) = -6$

$a + ar + ar^2 = 3$ を代入すると、

$3r = -6$

$r = -2$

$a + ar + ar^2 = 3$ に $r = -2$ を代入すると、

$a - 2a + 4a = 3$

$3a = 3$

$a = 1$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 3(2^n - 1)$

(2) $S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$

(3) 初項 $a = 1$、公比 $r = -2$